Consigne: Montrer que \(\lambda\) est un vecteur propre de \(A\) si et seulement si $$\operatorname{det}(A-\lambda\operatorname{Id})=0$$
Déf valeur propre
\(\implies\) : on sait que \(\lambda\) est une valeur propre $$\implies\exists v\in E,v\neq0,\quad Av=\lambda v$$
Simplification des fonctions
Alors $$\begin{align}& A(v)-\lambda\operatorname{Id} (v)=0\\ \implies&\underbrace{(A-\lambda\operatorname{Id})(v)}_{B(v)}=0\end{align}$$
Donc \(v\in\ker(B)\)
En passant par \(\ker B\), \(B\) non injective
Puisque \(v\neq0\), on a \(\ker(B)\neq\{0\}\), donc \(B\) n'est pas injective
\(B\) non inversible, donc \(\operatorname{det} B=0\)
Donc \(B\) n'est pas bijective, et n'est donc pas inversible, donc $$\operatorname{det} B=0$$
\(\impliedby\) : supposons que \(\operatorname{det} B=0\) avec \(B= A-\lambda\operatorname{Id}\)
\(B\) non inversible \(\implies\ker B\neq\{0\}\)
Donc \(B\) n'est pas inversible, elle n'est donc pas bijective et donc pas injective, donc \(\ker B\neq\{0\}\)
Donc existence de \(v\)
Donc il existe \(v\in\ker B,v\neq0\) tel que \(Bv=0\)
Développement pour montrer que \(v\) est vecteur propre et \(\lambda\) est valeur propre
$$\begin{align}\implies&(A-\lambda\operatorname{Id})(v)=0\\ \implies&A(v)-\lambda\operatorname{Id}(v)=0\\ \implies&A(v)=\lambda v\end{align}$$
(Noyau - Espace nul (algèbre linéaire), Isomorphisme
Matrice inversible - Inversion de matrice, Base)